Топ-100
Back

ⓘ Nus, matemàtiques. En matemàtiques, un nus és una incrustació de la circumferència en lespai ambient, generalment considerant la topologia euclidiana. El que pr ..



Nus (matemàtiques)
                                     

ⓘ Nus (matemàtiques)

En matemàtiques, un nus és una incrustació de la circumferència en lespai ambient, generalment considerant la topologia euclidiana.

El que pretén la definició matemàtica de nus és donar una descripció rigorosa del concepte comú de nus i amb això poder donar resposta a què fa que un nus sigui diferent dun altre. La idea bàsica daquesta definició és que, per donar-li cabuda al fet que un nus no es pugui desnuar, senganxen les puntes extremes del nus.

Daltra banda, el que un nus es pugui deformar transformant-lo en un altre, en matemàtiques es descriu com lexistència duna isotopia de lambient entre les dues puntes.

Formalment parlant, un pot dir que un nus a R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} o en S 3 {\displaystyle S^{3}} és una classe dequivalència de puntes de la 1-esfera S 1 = { x ∈ {\displaystyle \in } R 2: | x |= 1} en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} o en la 3-esfera. La classe ve donada per lequivalència isotòpica de funcions, és a dir, dues incrustacions són equivalents si existeix una isotòpia de lambient entre tots dos.

També és possible, per generalització, estudiar nusos en el tor S 1 × S 1 {\displaystyle S^{1}\times S^{1}} o sobre qualsevol altra varietat.

                                     

1. Projeccions

Tot nus a R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} o S 3 {\displaystyle S^{3}} pot projectar-se sobre R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} de manera regular és a dir, de manera injectiva arreu excepte en un nombre finit de punts. A més, es pot imposar sempre que els punts on la projecció no és injectiva no siguin colineals. Daquesta manera pot representar-se la classe disotopia de qualsevol nus a partir duna representació sobre el pla sempre que es mantingui una informació binària sobre cada punt no injectiu. Aquestes representacions es coneixen com a diagrames del nus. En termes de la teoria de grafs, els nusos quedarien representats per grafs planars de vèrtexs signats. Els nusos se solen classificar per la quantitat mínima de punts no injectius de les seves possibles projeccions. Aquest nombre sanomena nombre dencreuaments, i és interessant notar que per tot n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } hi ha un nombre finit de nusos diferents amb n encreuaments.

                                     

2. Tipus de nusos

Els nusos més senzills són el nus trivial, el nus trèvol també conegut com a 3 1 {\displaystyle 3_{1}} i el nus vuit també conegut com a 4 1 {\displaystyle 4_{1}}, però hi ha infinits nusos diferents. Per classificar-los, se solen tractar diversos conceptes com els que sexpliquen a les seccions següents.

                                     

2.1. Tipus de nusos Enllaços

Sanomena enllaç a una col lecció de nusos que no intersequen però que estan nuats entre ells. Daquesta manera, un nus és un enllaç duna sola component. La majoria deines de la teoria de nusos poden fer-se servir tant per lestudi dels nusos com dels enllaços, i segons quina bibliografia sol utilitzar el terme nus per referir-se tant a enllaços duna sola component com a enllaços que en tenen més duna.

                                     

2.2. Tipus de nusos Nusos primers i compostos

La noció de nus primer neix a partir del concepte del de suma connexa de nusos també conegut com a composició de nusos. Sentén com a suma connexa de dos nusos o enllaços el fet de separar cadascun dels dos nusos o enllaços en un punt i identificar les puntes dues puntes dun amb les dues puntes de laltre mantenint lorientació si nhi havia, tal com es mostra a les imatges següents per projeccions planars.

A partir daquesta definició, sanomena nus primer a tot nus pel qual qualsevol descomposició en suma connexa de dos nusos té el nus trivial com un daquests dos nusos. Els nusos que no són primers sanomenen nusos compostos. En general no és trivial saber si un nus és primer o compost i, per tal dabordar aquesta qüestió, shan desenvolupat diverses eines en la teoria de nusos. Una daquestes eines són els invariants per nusos.

Si es classifiquen els nusos per quantitat mínima dencreuaments segons si són primers o compostos, sobté la taula següent:



                                     

2.3. Tipus de nusos Nusos poligonals, mansos i salvatges

Sanomena nus poligonal a aquell format per un nombre finit de segments. Per tot nus poligonal K {\displaystyle K}, existeix un pla tal que la projecció ortogonal π {\displaystyle \pi } sobre el nus satisfà:

  • Les projeccions dels vèrtexs de K {\displaystyle K} no són punts dobles de π K {\displaystyle \pi K}.
  • La imatge de π K {\displaystyle \pi K} té un nombre finit de punts dobles, i cap altre punt singular.

A π K {\displaystyle \pi K} se lanomena projecció regular del nus.

A tot nus equivalent a un nus poligonal se lanomena nus manso o nus domesticat, i a qualsevol altre nus se lanomena nus salvatge. No obstant, en lestudi de teoria de nusos se sol ometre ladjectiu pels nusos mansos. És interessant notar que aquesta definició és equivalent a parlar de nusos amb un nombre finit dencreuaments pel cas dels nusos mansos i nusos que no poden ser expressats amb un nombre finit dencreuament pels nusos salvatges. Aquests últims, a més, solen mostrar comportaments patològics.

                                     

3. Generalitzacions

Entre les generalitzacions més usualment estudiades shi troben les incrustacions de la j-esfera S j {\displaystyle S^{j}} la n-esfera S n {\displaystyle S^{n}} per n = j + 2 {\displaystyle n=j+2}, doncs són les que gaudeixen de més complexitat destudi. De fet, el concepte usual de nus no generalitzat nés un cas particular: el de la 1-esfera en la 3-esfera.

                                     

3.1. Generalitzacions Incrustacions de S j a S n per n ≠ j +2

Val la pena notar que les incrustacions de S 1 {\displaystyle S^{1}} en S n {\displaystyle S^{n}} per n > 3 {\displaystyle n> 3} són sempre trivials. És a dir, si imaginem un nus en un espai de més de tres dimensions, sempre el podrem desfer. Una idea intuïtiva de com desfer aquests nusos seria prendre, sequencialment per cadascun dels encreuaments, la dimensió addicional per passar-hi el tros de corda de manera que lencreuament quedi desfet.

Per j = 1 {\displaystyle j=1} i n = 2 {\displaystyle n=2}, el teorema de Schönflies demostra que tots els nusos són trivials. Lanàleg per j = 2 {\displaystyle j=2} i n = 3 {\displaystyle n=3} es coneix com a teorema dAlexander. De fet, en topologia per nusos mansos està demostrat que per n = j + 1 {\displaystyle n=j+1} tots els nusos són trivials. Ara bé, aquesta afirmació no es compleix si considerem nusos salvatges: un contraexemple daquest fet és lesfera banyada dAlexander.

Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →