Топ-100
Back

ⓘ Teoria de nusos. La teoria de nusos és la branca de la topologia que sencarrega destudiar lobjecte matemàtic que abstreu la noció quotidiana de nus. En escoltar ..



Teoria de nusos
                                     

ⓘ Teoria de nusos

La teoria de nusos és la branca de la topologia que sencarrega destudiar lobjecte matemàtic que abstreu la noció quotidiana de nus.

En escoltar la paraula nus, vénen la nostra ment imatges com la dels cordons dunes sabates, la de les sogues dels mariners i, fins i tot, vénen records com el duna extensió elèctrica difícil de desnuar. Totes aquestes imatges són exemples de nusos que difereixen per molt poc del concepte matemàtic de nus.

Un nus, un cop enganxats els seus extrems serà representat per una corba simple i tancada en ℝ 3 o, de manera més àmplia, per embeddings de la circumferència en diversos espais topològics ambient.

                                     

1. Definició

El que pretén la definició matemàtica de nus, és donar una descripció rigorosa del que és el nus i amb això poder donar resposta a què fa que un nus sigui diferent dun altre. La idea bàsica daquesta definició és que, per donar-li cabuda al fet que un nus no es pugui desnuar, senganxen les puntes extremes del nus.

  • Per això es diu que un nus és un encaix o encarnat de la circumferència en lespai ambient R 3 {\displaystyle \mathbb {R} \ ^{3}}, S 3 {\displaystyle S^{3}} o alguna altra 3-varietat.

Daltra banda, el que un nus es pugui deformar transformant-lo en un altre, en matemàtiques es descriu com lexistència duna isotòpia de lambient entre les dues puntes.

  • Formalment parlant, un pot dir que un nus a R 3 {\displaystyle \mathbb {R} \ ^{3}} o en S 3 {\displaystyle S^{3}} és una classe dequivalència de puntes de la 1-esfera S 1 ={ x ∈ {\displaystyle \in } R 2:| x |= 1} en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} \ ^{3}} o en la 3-esfera. La classe ve donada per lequivalència isotòpica de funcions, és a dir, dos encaixos són equivalents si existeix una isotòpia de lambient entre tots dos.

També és possible estudiar nusos en el tor: S 1 × S 1 {\displaystyle S^{1}\times S^{1}}.

                                     

2. Història

Al final del segle xviii fa la seva aparició la Teoria de nusos amb els estudis de Vandermonde, Gauss i Klein.

la part final del segle XIX es va iniciar un estudi sistemàtic de la teoria quan els matemàtics i físics es van dedicar a tabular nusos. Lord Kelvin 1867 va proposar la idea que els àtoms eren nusos, formats per petits vòrtex o corrents tancades dèter. Ell creia que si classificava tots els nusos possibles podria explicar com els àtoms absorbeixen i emeten llum. Ara sabem que aquesta idea és incorrecta. El físic Peter Guthrie Tait va passar molts anys realitzant una llista de nusos amb la creença que estava creant una taula delements. Quan lèter no va ser detectat en lexperiment de Michelson i Morley, la teoria dels àtoms modelats mitjançant nusos va ser rebutjada, i la teoria dels nusos va perdre part del seu interès per als físics.

A principi del segle xx, coincidint amb el desenvolupament de la topologia, topòlegs com Max Dehn, J. W. Alexander, i Kurt Reidemeister van investigar els nusos.

Però els desenvolupaments més importants daquesta teoria shan produït en la segona part del segle xx, gràcies a les contribucions de John Conway, VFR Jones, LH Kauffman i molts altres. Avui dia, la teoria de nusos té aplicacions en teoria de cordes, en la gravetat quàntica, en lestudi de replicació i recombinació de lADN, en àrees de la mecànica i en psicoanàlisi lacanià.

És important recalcar que els complements dalguns nusos tenen a 3-varietats com complements i aquestes són objectes dintens estudi.

                                     

3. Diagrames de nusos i moviments de Reidemeister

Un nus es descriurà generalment per mitjà del seu diagrama, que representa la seva projecció sobre el pla, destacant en cada encreuament la diferència entre el tram que està a sobre i el que està sota que normalment apareix marcat amb una interrupció.

És possible que en projectar dos nusos diferents en determinada direcció, es perdi informació i sobtingui la mateixa projecció. Perquè això no succeeixi es treballa sempre amb les anomenades projeccions regulars, que contenen tota la informació necessària.

Però el mateix nus admetrà diferents representacions en forma de diagrama, així que sorgeix el primer problema fonamental: quan dos diagrames representaran el mateix nus?

El 1927, el teorema de Reidemeister resoldrà parcialment aquest problema. Aquest teorema permet decidir si un nus és igual a un altre tan sols fent dibuixos, i és una eina potent per la prova dalguns invariants.

El teorema de Reidemeister diu el següent: per passar duna projecció regular dun nus a una altra projecció, només es necessiten realitzar successivament moviments dalgun dels següents tipus:

Encara que aquest resultat aparentment resol el problema, no proporciona un algorisme per determinar si dos nusos són equivalents. Així, a priori no es coneix el nombre de moviments necessaris per transformar un diagrama en un altre. Tampoc és possible saber amb certesa en un temps finit, si dos nusos no són equivalents. Un avanç significatiu en aquesta direcció va ser la introducció el 1929 dels primers invariants.



                                     

4. Invariants de nusos

Un invariant de nusos és una "quantitat" que és la mateixa per a nodes equivalents. Tot i així, un sol invariant pot prendre el mateix valor per a dos nusos diferents, sent insuficient per distingir-los.

la llista dinvariants clàssics hem dincloure:

  • La tricolors
  • El polinomi dAlexander.
  • El grup dun nus, que és el grup fonamental del seu complement.

Al final del segle xx van ser descoberts nous invariants com:

  • Els invariants hiperbòlics.
  • El polinomi de Jones i les seves dues generalitzacions més conegudes, el polinomi HOMFLY i el polinomi de Kauffman, ambdós generats per grups quàntics.

De tota manera, els invariants nomenats són només la punta de liceberg de la moderna teoria de nusos.

                                     

5. Nusos en dimensions més altes

En quatre dimensions, qualsevol nus és equivalent al nus trivial.

La següent generalització que pot tenir interès és considerar una 2-esfera embeguda en una 4-esfera. Aquest encastament es considerarà no lligat si hi ha un homeomorfisme de lespai ambient la 4-esfera en si mateixa, que porti la 2-esfera considerada en la 2-esfera canònica.

                                     

6. Vegeu també

Tant els enllaços com les trenes comparteixen molts punts teòrics amb els nusos:

  • Teoria de trenes
  • Enllaç teoria de nusos

Sobre lús dels nusos en lantiguitat:

  • Els Quipus
  • Cordam
                                     

7. Referències

  • Dale Rolfsen, Knots and Links, Berkeley: Publish or perish, Inc 1976. ISBN 0-914098-16-0
  • MA Armstrong, Topologia Bàsica, Ed Reverté, 1987. ISBN 84-291-5018-8. Capítol X
  • Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, 2001, ISBN 0-7167-4219-5
                                     

8. Enllaços externs

  • La wiki de nusos Atles de nusos: Detallada informació sobre nusos
  • Knot Plot: Programari per investigar les propietats geomètriques dels nusos.
  • Paul Bourkes Knots: Descripció dels tipus de nusos
  • knotinfo/KnotInfo: Taula de nusos invariants i recursos sobre la teoria de nusos.
  • Revisió sobre nusos, enllaços i el seu paper en lestudi de varietats tridimensionals Arxivat 2016-03-03 a Wayback Machine.
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →